متوسط (هندسة رياضية)

خصائص المتوسط

* لكل مثلث ثلاثة متوسطات، متوسط لكل رأس وضلع مقابل له.
* تتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة واحدة داخل المثلث دائماً، تسمى النقطة الوسطى Centroid، ( يمكن إثبات ذلك باستخدام مبرهنة سيفا).
* كل متوسط يقسم المثلث إلى مثلثين لهما نفس المساحة لأن لهما قاعدتين متساويتين، و لهما نفس الارتفاع.

[عدل] موقع النقطة الوسطى في المتوسط
النقطة P هي نقطة تقاطع المتوسطات للمثلث ABC

تقسم نقطة تقاطع المتوسطات ( النقطة الوسطى ) المتوسط إلى جزئين النسبة بينهما 2:1 من جهة القاعدة، و 1:2 من جهة الرأس.

أي أن النقطة الوسطى تبعد عن رأس المتوسط مسافة قدرها ثلثي طول المتوسط.
[عدل] البرهان

في المثلث ABC رسمنا المتوسطات AD,BE,CF والنقطة P هي النقطة الوسطى، النقطتين G,H في منتصفي PC,PB على الترتيب، سنثبت أن النطقة P تقسم المتوسط إلى جزئين النسبة بينهما 1:2 من جهة الرأس.

المطلوب : \frac{PC}{PF}=2 أو \frac{PB}{PE}=2

القطعة المستقيمة EF تصل بين منتصفي ضلعين في المثلث ABC إذا EF توازي الضلع الثالث BC و EF =\frac{1}{2}BC.

كذلك الحال مع القطعة GH في المثلث PBC إذا GH توازي BC و GH =\frac{1}{2}BC.

الرباعي FEGH فيه ضلعان EF و GH متوزايان حيث يوازي كل منهما BC، ومتطابقان حيث يساوي كل منهما نصف BC.

إذا الرباعي FEGH متوازي أضلاع، و من خصائص متوازي الأضلاع أن القطرين FG و EH ينصفان بعضها البعض .

\Rightarrow PF = PG = \frac{1}{2}PC,PE = PH = \frac{1}{2}PB

وهو المطلوب.
[عدل] حساب طول المتوسط

في المثلث ABC، الذي رؤوسه A,B,C،وأطوال أضلاعه المقابلة لهذه الرؤوس a,b,c على الترتيب، يعطى طول المتوسط m_a \, النازل من الرأس A بالعلاقة:

m_a = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }

من الممكن الحصول على العلاقة السابقة بتطبيق مباشر لـمبرهنة ستيوارت.
[عدل] مساحة المثلث ومتوسطاته

لرسم مثلث XYZ أضلاعه متوسطات المثلث ABC، نرسم قطعتين مستقيمتين من طرفي أحد المتوسطات بحيث تطابقان وتوازيان المتوسطين الآخرين.

مساحة المثلث XYZ تساوي ثلاثة أرباع مساحة المثلث ABC.

\Rightarrow Area_{ABC} = \frac{4}{3} Area_{XYZ}

وبتطبيق صيغة هيرو على المثلث XYZ الذي أضلاعه متوسطات المثلث (m_a,m_b,m_c \,) سنحصل على صيغة جديدة لمساحة المثلث ABC بدلالة أطوال متوسطاته:

Area_{ABC} = \frac{4}{3} \sqrt{S_m(S_m - m_a)(S_m - m_b)(S_m - m_c)}

حيث S_m = \frac{m_a + m_b + m_c}{2}
[عدل] مركز ثقل المثلث
(barycenter) نقطة وسطى المثلث: نقظة تقاطع متوسطات المثلث

تتقاطع متوسطات المثلث الثلاثة في نقطة واحدة تعرف باسم النقطة الوسطى للمثلث، وتكون واقعة دائماً داخل المثلث.

تسمى هذه النقطة أحياناً مركز ثقل المثلث.

لأننا إذا وضعنا ثلاث كتل متساوية عند رؤوس المثلث فإن مركز ثقلها ستكون عند هذه النقطة.

يمكن إيجاد إحداثي هذه النقطة في المستوى الإحداثي بحساب المتوسط الحسابي لرؤوس هذا المثلث