مجموعة الأعداد الصحيحة

مجموعة الأعداد الصحيحة :
ادرس خط الأعداد التالي ، ولاحظ أنّ :



تعلمت أنّ : ص+ : مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة .
ص- : مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة .
ص0 : المجموعة التي تحوي الصفر .
ط : مجموعة الأعداد الطبيعية ( ط = ص+ U ص0)

والآن ماذا عن المجموعة التي تنتج عن اتحاد المجموعات الثلاث :
الصحيحة الموجبة والصحيحة السالبة ومجموعة الصفر ؟؟!!
ص+ U ص- U صفر


{ ....+3 ، +4 ، + 2 ، +1، 0 ، -1 ، -2 ، -3 ، ....}
ولكن ماذا نُسمي مجموعة الأعداد هذه ؟؟
ص = { .... ، +3 ، +2 ، +1 ، 0 ، -1 ، -2 ، -3 ، .... }

ص = مجموعة الأعداد الصحيحة وهي تضم (تحوي ) مجموعة الاعداد الصحيحة الموجبة ومجموعة الأعداد الصحيحة السالبة والمجموعة { صفر }

لاحظ أنّ :
ص ، وتقرأ موجب 7 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة .
+7
ص ، وتقرأ سالب 4 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة .
-4
ص ، وتقرأ العدد صفر ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة .
صفر


ـ هل هناك ما يمكن أن نسميه أصغر الاعداد الصحيحة ؟؟

ـ وهل هناك ما يمكن أن نسميه أكبر الأعداد الصحيحة ؟؟؟

ـ وهل مجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة منتهية أم مجموعة غير منتهية ؟؟؟

مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة :
ادرس خط الأعداد التالي ، ولاحظ أنّ :




مجموعة الأعداد = { -1 ، -2 ، -3 ، -4 ، .... } هي مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة التي يرمز لها عادةً بالرمز صـ

النقاط .... في هذه المجموعة تشير إلى استمرارية كتابة العناصر على نفس المنوال دون انتهاء .


هل هناك ما يُمكن أن نسميه أكبر الأعداد الصحيحة السالبة ؟


وهل هناك ما يُمكن أن نسميه أصغر الأعداد الصحيحة السالبة؟


وهل مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة مجموعة منتهية ؟؟

العدد -1 هو أكبر الأعداد الصحيحة السالبة. ولكن لا يمكننا تحديد عدد ما يكون أصفر الأعداد الصحيحة السالبة .

ماذا تعلمنا هنا ؟!!
ص- ، وتقرأ سالب 4 ينتمي إلى ص-
-4
ص- ، وتقرأ موجب 10 لا ينتمي إلى ص-


مجموعة الأعداد الطبيعية:
ادرس خط الأعداد التالي ، ولاحظ أنّ :


أنت تعرف أن ص+ = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ......}
وأن ص0 = { صفر } .
النقاط .... في هذه المجموعة تشير إلى استمرارية كتابة العناصر على نفس المنوال دون انتهاء .

الآن يمكننا تكوين مجموعة جديدة ناتجة عن اتحاد المجموعتين ص+ و ص0
ص+ { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ......} U { صفر }
ص+ U ص0

ما هي هذه المجموعة الجديدة ؟ وماذا نسميها ؟
{0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ......}


نُسمي هذه المجموعة التي تضم مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ومجموعة الصفر بمجموعة الاعداد الطبيعية ويرمز لها عادةَ بالرمز ط .
ط = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، …..
لاحظ أنّ :
ط = ص+ U ص0


ـ هل هناك ما يمكن أن نسميه أصغر الاعداد الطبيعية ؟؟

ـ وهل هناك ما يمكن أن نسميه أكبر الأعداد الطبيعية ؟؟؟

ـ وهل مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة منتهية أم مجموعة غير منتهية ؟؟؟




مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة غير منتهية

ماذا نقول عن المجموعة { صفر } ؟؟
ادرس خط الأعداد التالي ، ولاحظ أنّ :




الصفر ليس عدداً صحيحاً موجباً .
وهو ليس عدداً صحيحاً سالباً .
وبالتالي نُكوّن المجموعة ص0 التي تحوي الصفر .
ص0 = { صفر } .


ص- ، وتقرأ العدد صفر لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة .
0
ص+ ، وتقرأ العدد صفر لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة.
0
ص0 = { صفر } .

مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة :
ادرس خط الأعداد التالي ، ولاحظ أنّ :




مجموعة الأعداد = { +1 ، +2 ، +3 ، +4 ، .... } هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ويرمز لها عادةً بالرمز ص+ .
نقول : ص+ = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ......}
النقاط .... في هذه المجموعة تشير إلى استمرارية كتابة العناصر على نفس المنوال دون انتهاء .


هل هناك ما يُمكن أن نسميه أصغر الأعداد الصحيحة الموجبة ؟


وهل هناك ما يُمكن أن نسميه أكبر الأعداد الصحيحة الموجبة ؟


وهل مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة مجموعة منتهية ؟؟

العدد 1 هو أصغر الأعداد الصحيحة الموجبة . ولكن لا يمكننا تحديد عددٍ ما يكون أكبر الأعداد الصحيحة الموجبة .

لاحظ أن :
ص+ ، وتقرأ موجب 7 ينتمي إلى ص+
+7
ص+ ، وتقرأ سالب 5 لا ينتمي إلى ص+
-5






إذا وضعت خط الأعداد في وضع رأسي ، ستجد أنَّ النقاط التي تمثل الاعداد الصحيحة الموجبة تقع جميعها فوق النقطة المرجعية التي تمثل الصفر ، وتقع جميع النقاط التي تمثل الاعداد الصحيحة السالبة ، اسفل النقطة المرجعية التي تمثل الصفر.

واذا رسمت خط الأعداد في وضع أفقي ، تجد أن جميع النقاط التي تمثل الأعداد الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين من النقطة المرجعية التي تمثل الصفر ، في حين أن جميع النقاط التي تمثل الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ من النقطة التي تمثل الصفر .


تدريب :

أدرس الأمثلة التالية :
النقطة و تمثل العدد الصحيح الموجب 6
النقطة ب تمثل العدد الصحيح الموجب 2
النقطة س تمثل العدد الصحيح السالب 1
الآن أكمل شفوياً العبارات التالية :
النقطة د تمثل العدد الصحيح ............ .....

النقطة ك تمثل العدد الصحيح ............ .....

النقطة جـ تمثل العدد الصحيح ............ .....

النقطة ل تمثل العدد الصحيح ............ .....


ادرس خط الأعداد التالي ثم اكتب الأعداد الصحيحة التي تُمثّل بالحروف :
( ص ) ، (ب) ، (هـ ) ، (ع) ، ...










درست أن :
العدد - 5 يسمى سالب العدد 5
والعدد - 2 يسمى سالب العدد 2
يسمى العدد+5 النظير الجمعي للعدد ـ5 ونسمي العدد -2 النظير الجمعي للعدد+2

يمكننا أن نُظهر العدد الصحيح الموجب وسالبه على شكل زوج من الأعداد ، مثل : (+5 ، ـ5)
ومثل : (ـ2 ، +2)
وبالتالي يُمكننا إظهار الأعداد الصحيحة الموجبة والأعداد الصحيحة السالبة على شكل أزواج ، كلّ زوج منها يمثل العدد الصحيح ونظيره الجمعي . (ـ3 ، +3) ، (+10 ، ـ10) ، (+7 ، ـ7) ....


1) الزوج (+3 ، ـ3) يمثل العدد الصحيح +3 ونظيره ـ3

كم بُعد العدد الصحيح +3 عن النقطة المرجعية التي تُمثّل بالصفر

وكم بُعد العدد الصحيح ـ3 عن النقطة المرجعية التي تُمثّل بالصفر

ماذا تُلاحظ !؟؟
) أدرس مجموعة الأزواج العددية التالية : (+5 ، ـ5) ، (ـ9 ، +9) ، (0 ، 0)

ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح الموجب (+5) ؟

ما هو النظير الجمعي للعدد الصحيح السالب (ـ9) ؟

ما هو النظير الجمعي للصفر ؟

ماذا تعلمنا ؟!
1. نظير الصفر هو الصفر .

2. نظير العدد الصحيح الموجب عدد صحيح سالب .

3. نظير العدد الصحيح السالب عدد صحيح موجب .

4. للعدد الصحيح ونظيره نفس المطلق ، بمعنى أن العدد الصحيح ونظيره يكونان على بعدين متساويين من النقطة التي تمثل الصفر على خط الأعداد .






نستخدم خط الأعداد في مقارنة الأعداد الصحيحة للتعرفِ على الأكبر والأصغر .

عرفت سابقاً أن الصفر على خط الأعداد يمثل نقطة مرجعية ، ولعلك لاحظت أن :
جميع الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ أو للأسفل من الصفرِ.




جميعَ الأعدادِ الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين أو للأعلى من الصفر .



1) الصفر أكبر من أيِّ عددٍ صحيح سالب .
2) والصفر أصغر من أيٍِّ عددٍ صحيح موجب .
3) أي عدد صحيح موجب أكبر من أي عدد صحيح سالب .
4) وأي عدد صحيح سالب أصغر من أي عدد صحيح موجب .


أولاً : أيهما أكبر +5 أم +2
لاحظ أن (+5) تقع على اليمين من +2 على خط الأعداد في وضع أفقي .
+5 أكبر من +2 




لاحظ أن (+5) تقع فوق (أعلى من ) +2 على خط الأعداد في وضع رأسي .
\ +5 < +2



ثانياً : أيهما أكبر ـ3 أم ـ5
لاحظ أن ـ3 تقع على اليمين من ـ5 على خط الأعداد في وضع افقي .
 ـ3  ـ5



لاحظ أنَّ ـ3 تقع فوق (أعلى من ) ـ5 على خط الأعداد في وضع رأسي .
 ـ3  ـ5








الترتيب التصاعدي :
مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ3 ، +4 ، 0 ، ـ5 ، +6
لاحظ أن ـ5 يقع أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليمين منه العدد ـ3 ثم الصفر ثم +4 وأخيراً +6 .



 الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي : ـ5 ، ـ3 ، 0 ، +4 ، +6


مثل 2 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +5 ، ـ4 ، 0 ، +2 ، ـ1
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تصاعدياً ، أي من الأصغر إلى الأكبر .

لاحظ أن العدد ـ4 يقع في الأسفل بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع رأسي ، يليه مباشرة وإلى الأعلى الأعداد ـ1 ثم أعلى منه الصفر ثمَ +2 واخيراً +5 .

 الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي :
ـ4 ، ـ1 ، 0 ، +2 ، + 5

الترتيب التنازلي :

مثل1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +2 ، +4 ، ـ1 ، ـ3 ، 0
لترتيب هذه الاعداد ترتيباً تنازليا ، أي من الأكبر إلى الأصغر :
العدد +4 يقع أقصى اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليسار العدد +2 ثم الصفر ثم ـ1 وأخيراً في أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد العدد ـ3 .


 الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي 4 ، 2 ، 0 ، ـ1 ، ـ 3
-3 > -1 > 0 > +2 > +4



مثل 2 :
لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ4 ، +2 ، ـ 2 ، 0 ، +4
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازلياً ، أي من الأكبر إلى الأصغر .

العدد +4 يقع في الأعلى بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضعٍ رأسي ، يليه مباشرة إلى الأسفل منه العدد +2 ثم الصفر ثم ـ2 واخيراً يقع العدد ـ4 في الاسفل بالنسبة لباقي هذه الأعداد .
 الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي :
+4 ، +2 ، 0 ، ـ2 ، ـ4









خاصية التبديل
ادرس الأمثلة التالية :
1- (+4) + (+5) = +9 وكذلك (+5) + (+4) = +9
\ (+4) + (+5) = (+5) + (+4)

2- (-2) + (-3) = -5 وكذلك (-3) + (-2) = -5
\ (-2) + (-3) = (-3) + (-2)

3- (-7) + (+4) = -3 وكذلك (+4) + (-7) = -3
\ (-7) + (+4) = (+4) + (-7)

4- (-3) + (+Cool = +5 وكذلك (+Cool + (-3) = +5
\ (-3) + (+Cool = (+Cool + (-3)

ماذا تستنتج ؟؟
لكل عددين صحيحين أ ، ب يكون : أ + ب = ب + أ
أ + ب = ب + أ
لكل عددين صحيحين أ ، ب

خاصية التجميع ( الخاصية التجميعية ) :
ادرس الأمثلة التالية :
أولاً :
1. ( (+3) + (+4) ) + (-2) = (+7) + (-2)
= +5

2. (+3) + ( (+4) + (-2) ) = (+3) + (+2)
= +5

3. ( (+3) + (-2) + (+4) = (+1) + (+4)
= +5

ماذا تُلاحظ ؟؟

ثانياً :
1. ( (-4) + (-5) + (+3) = (-9) + (+3)
= -6

2. (-4) + ( (-5) + (+3) = (-4) + (-2)
= -6

3. (-5) + ( (+3) + (-4) = (-5) + (-1)
= -6
ماذا تُلاحظ ؟؟

لأي ثلاثة أعدادٍ صحيحة أ ، ب ، جـ يكون :
(أ + ب) + جـ = أ + (ب + جـ)

كون عملية الجمع إبدالية وتجميعية على مجموعة الأعداد الصحيحة ، يتيح لنا إمكانية جمع أي ثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر وذلك بجمع أي عددين منها ثم إضافة الناتج إلى العدد الثالث وهكذا ........

مثل : جد ناتج (+17) + (-7) + (-12)
الحل :
(+17) + ( (-7) + (-5) = (+17) + (-12)
= +5
مثل : جد ناتج (+5) + (-4) + (-9) + (+6) + (-2)
الحل :
( (+5) + (-4) ) + ( (-9) + (+6) ) + (-2)
(+1) + (-3) + (-2) = (+1) + ( (-3) + (-2) )
= +1 + (-5)
= -4

الصفر على خط الأعداد
العنصر المحايد لعملية الجمع
أولاً : لاحظ العمليات التالية
7 + 0 = 7 0 + 7 = 7
(-3) + 0 = -3 0 + (-3) = -3

5 + 0 = 0 + 5 = 5
(-2) + 0 = 0 + (-2) = -2
... وهكذا
لأي عددٍ صحيحٍ أ يكون : 0 + أ = أ + 0 = أ
نُسمي الصفر هنا العنصر المحايد لعملية الجمع على خط الأعداد الصحيحة .

ثانياً :
درست أن لكل عدد صحيحٍ معكوساً ((+5)  ه(-5)) وعرفت أن العدد ومعكوسه يقعان على البعد نفسه من النقطة المرجعية التي تمثل الصفر على خط الأعداد . وعرفت أن للعدد ومعكوسه القيمة المطلقة نفسها .

الآن ، ادرس العمليات التالية :
1. (+5) + (-5) = 0 (-2) + (+2) = 0
|+5| = 5 وكذلك |-5| = 5

 العدد الصحيح + معكوسه = صفر
= العنصر المحايد لعملية الجمع


النظير الجمعي :
يُسمى العدد الصحيح النظير الجمعي لمعكوسه .
يُسمى معكوس العدد الصحيح النظير الجمعي لذلك العدد .

مثل :
النظير الجمعي للعدد +4 هو -4
النظير الجمعي للعدد -6 هو +6 ... وهكذا

نقول :
النظير الجمعي للعدد +7 هو –(+7)
والنظير الجمعي للعدد -5 هو –(-5)

وبالمثل :
-(-12) يدل على النظير الجمعي للعدد -12
-(+9) يدل على النظير الجمعي للعدد +9

تذكر أن النظير الجمعي للعدد الصحيح هو معكوس ذلك العدد .
وتذكر أن العدد الصحيح + معكوسه = صفراً .